h(x) = 2x³-6x+1 라고 하면
h'(x) = 6x²-6 = 6(x-1)(x+1)이고
h(1) = -3, h(-1) = 5, h(2) = 5이므로
y = h(x)의 개형은
↗(1,5)↘(-1,-3)↗(2,5) 로 이어지고 이는 y = f(x)의 x≤2 부분의 개형입니다.
그리고 x＞2부분의 개형은 a,b값에 따라 달라지는데
a의 부호에 따른 양음, 그리고 b의 값에 따른 축의 위치가 달라집니다.
일단 (2,9)에서 시작하는 선이 됩니다. (그 점 제외)
i) b≤2인 경우
a의 부호에 따라 x＞2 부분 곡선은 단조 증가 혹은 단조 감소합니다.
i)-1 a＜0 인 경우
g(t)값은 밑에서 부터 2,3,4,3,1,0 이 됩니다.
좌우극한함수값 합은
쭉 6이다가 k = -3에서 9가 되고,
쭉 12이다가 k = 5에서 8 되고,
쭉 3이다가 k = 9에서 1되고
그 후는 쭉 0입니다.
.... 조건 만족하는 경우네요.
아.... 두 자연수 a,b니까 a＜0은 아예 불가능하네요. 제외합니다.
i)-2) a＞0 이므로
g(t)값은 1, 2, 3, 2, 0, 1
인데 3이 쭉 지속되는 지점이 있습니다. -3＜k＜5일때인데
그때는 모두 9가 나오므로 하나만 나오지 않습니다.
ii) b＞2인 경우
꼭지점 위치에 따라 g(t) 변화가 다릅니다.
꼭지점의 y좌표를 q라고 할때
q＜-3이면 g(t)값은 1, 2, 3, ..... q＜t＜-3에서 모두 9가 나오므로 불가
q = -3이면 g(t)값은 1, 3, 5, 4, 2, 1 로 세 값의 합은 3, 9, 15, 11, 6, 4, 3으로 k = -3일때만 9가 됨.
-3＜q＜5이면 g(t)값은 1, 2, 3.........-3＜t＜q에서 모두 9가 나오므로 불가
q≥5 이면 -3＜t＜5에서 모두 9가 나오므로 불가
그러면 q = -3이어야 합니다. 꼭지점의 함수값이 -3이면 됩니다.
(그 외에는 안 됩니다.)
y = a(x-2)(x-b) + 9 는 x = (2+b)/2에 대칭이므로 저 식에 이 값을 대입한 결과가 -3이어야 합니다.
a((2+b)/2-2)((2+b)/2 - b) + 9 = -3
(a/4)(2+b-4)(2+b-2b) = -12
a(b-2)(2-b) = -48
a(b-2)² = 48
a,b는 자연수이고 b＞2이므로 a,b-2가 자연수입니다.
48의 약수 중 제곱수는 1², 2², 4² 세 경우가 있고
b-2는 1, 2, 4일때이고
a는 48, 12, 3일때이고
b는 3, 4, 6 일때이므로
a+b값은 51, 16, 9가 되고
a+b의 최대값은 51이 됩니다.